javascript实现最长公共子序列实例代码

介绍

最长公共子序列（Longest Common Subsequence，LCS）问题是从两个序列中找出最长的共同部分，这部分序列需保持原有序列中的相对顺序。LCS算法广泛应用于多个领域，如软件版本对比、软件测试、基因工程、防抄袭系统等。在程序代码相似度度量、人体运行的序列检索、视频段匹配等方面也有广泛应用。了解LCS算法对于相关领域的研究者和开发者来说具有很高的价值。

基本概念

子序列是指从给定序列中去掉零个或多个元素后得到的结果，不改变元素间的相对顺序。公共子序列则是两个序列共有的子序列。例如，序列X和Y的最长公共子序列是它们共有的最长子序列。值得注意的是，子串是连续的元素组合，与子序列不同。

问题分析

我们可以通过一个矩阵来分析LCS问题。假设我们比较的两个字符串为X和Y。我们注意到子序列的概念，它可以删除多个或零个元素，甚至可以全部删除。这意味着我们的第一个子序列可以是空字符串。这一点非常重要，很多人在理解《算法导论》中的相关图表或博客文章时容易忽略这一点。

我们从左到右进行比较，将第一个字符串作为矩阵的行，第二个字符串作为矩阵的列。在比较过程中，我们根据两个字符是否相等来决定如何填充矩阵。如果两个字符相等，则填充的数值为上方和左方较小值加1；如果两个字符不等，则填充上方或左方的较大值。最终，矩阵中的最大值即为最长公共子序列的长度。

当我们考虑两个空字符串时，它们的公共区域的长度显然为0。这就像在一片空白的棋盘上，无论我们如何移动，始终无法找到两个字符的共同路径。这就像在二维的格子世界里，没有任何字符存在的区域，自然就没有公共子序列。

当我们开始引入字符，例如X，并且让Y出阵"B"，显然它们的公共区域的长度依然为0。不论Y换成其他字符，如D、C，或是它们的连续组合DC、DDC，情况都没有变化。这就像是在一个固定的行或列中，无论填入什么字符，只要没有与另一行或列产生交集，公共区域的长度就会保持为0。

接着我们来看LCS问题，它与背包问题有所不同。背包问题可以通过设置-1行来解决，而最长公共子序列因为有空子序列的存在，使得左边与上边被固定住了。这就像是在寻找两个字符串的最长公共子序列时，一旦确定了开头的字符，后续的选择就受到了限制。

当我们进一步放大问题，让双方都出一个字符时，只有两字符相才会存在不为空字符串的公共子序列，长度也自然为1。这就像是在一个二维的网格中，只有当两个字符处于同一位置时，才能形成公共子序列。假设A为"X"，Y为"BDCA"的子序列的任意一个。

当我们面对一串字符序列时，比如X和Y，我们可以尝试它们之间的共同子串。假设X仅包含前面的字符A和B，那么可能的组合就是“”，“A”，“B”以及“AB”。我们已经讨论过前两个组合，那么现在我们来详细看看包含B的情况。

当我们在状态表中看到${X_1} == ${Y_0}，这意味着我们找到了一个新的公共子串，理应加1。这个状态表描述的是状态的迁移过程，这些状态是基于已有的状态逐步累加的。我们需要确定的是，当前要填写的格子的值与周围已经填好的格子的值之间的关系。目前，这是一个孤立的信息点，因此我们可以直接填上1。

接下来，让我们看看当Y多出一个D作为帮手时的情况。X和Y的组合变为{"",A,B,AB}和{"",B,D,BD}。显然，我们可以继续填上1，直到Y的第二个B出现之前。这是因为当到达BDCAB时，它们出现了另一个公共子序列AB。在这个过程中，每次找到新的公共子串时，我们都应该更新状态表中的计数。

当我们仔细观察这些字符序列时，可以逐步揭示其中的规律。想象一下，我们把这些字符看作是一场战斗中的战士，每个字符都在争夺领地。字符“X”和“Y”各自拥有自己的战士和战术，而我们的任务就是分析这些战术，看看它们如何相互作用。在这个过程中，我们逐步发现了一些规则。当两个字符不我们需要比较它们各自的子序列集合的大小来决定如何填补空格。这就像是在下一盘棋，每一步都要经过深思熟虑。而当两个字符相我们可以发现它们对应的格子值总是与左边、上边以及左上角的值相等。这就像是一种平衡的力量在起作用，使得当两个字符相等时，它们周围的格子也保持一种和谐的状态。这种规律在我们继续深入时仍然适用。让我们继续计算验证这些想法，加入新的规则或限制条件来完善我们的理论。我们注意到当两个不同的字符“X”和“Y”相遇时，它们的子序列集合大小决定了如何填补中间的空白格子。如果“X”的子序列集合比“Y”的更大，那么新增的字符应该与“X”的子序列集合相匹配，以保持整体的平衡和和谐状态。“X”和“Y”之间的战斗也让我们明白了一个道理：在比较的过程中，不仅要关注单个字符的力量，还要关注它们之间的相互作用和整体策略的运用。这些规律不仅有趣而且实用，它们可以帮助我们更好地理解字符序列背后的逻辑和规律。现在我们可以继续深入这个领域的其他问题了！让我们以这种方式不断发现和学习新知识吧！