特征多项式

特征矩阵与特征多项式

一、定义

对于任意一个 n×n 矩阵 A，其特征矩阵定义为 λI - A，其中 λ 是变量，I 是同阶单位矩阵。特征多项式则是特征矩阵的行列式，表示为 p(λ) = |λI - A|。它是一个关于 λ 的 n 次多项式。

二、性质

1. 相似不变量：相似矩阵具有相同的特征多项式，但反之并不成立。例如矩阵 A=[0100] 和零矩阵的特征多项式相同，但二者并不相似。

2. 与特征值的关系：特征多项式的根即为矩阵 A 的特征值，每个特征值至少对应一个特征向量。

3. 矩阵多项式的特征值：如果 λ 是矩阵 A 的特征值，那么对于任何多项式 p(x)，p(λ) 就是矩阵多项式 p(A) 的特征值。

三、应用

特征多项式在矩阵计算中有着重要的应用。

1. 特征值计算：通过求解特征多项式 p(λ)=0 的根，可以得到矩阵的全部特征值。

2. 行列式与迹的关联：特征多项式的常数项是 (-1)^n |A|，而 λ^(n-1) 项的系数是 -tr(A)，其中 tr(A) 表示矩阵的迹。这一性质为计算矩阵的行列式和迹提供了一种有效的方法。

在实际应用中，特征值和特征向量具有广泛的应用，如线性系统的稳定性分析、量子力学中的波函数描述等。特征多项式作为连接矩阵元素和特征值之间的桥梁，其重要性不言而喻。通过对特征多项式的深入研究，我们可以更深入地理解矩阵的性质和应用。