空间向量垂直

判断两向量是否垂直，可以通过计算它们的点积来实现。若结果为零，则两向量垂直。以向量 \\( \\mathbf{a} = (1, 2, 3) \\) 和 \\( \\mathbf{b} = (-4, 5, -2) \\) 为例，它们的点积计算如下：

\\( 1 \times (-4) + 2 \times 5 + 3 \times (-2) = -4 + 10 = 6 = 0 \\)，这两个向量垂直。

当我们需要求解参数使得两向量垂直时，可以设点积为零，然后解方程求参数。例如，已知 \\( \\mathbf{a} = (2, -1, 3) \\) 和 \\( \\mathbf{b} = (4, x, -6) \\)，我们需要找到 \\( x \\) 的值。通过设立点积方程：\\( 2 \times 4 + (-1) \times x + 3 \times (-6) = 0 \\)，解得 \\( x = -10 \\)。

求与已知向量垂直的向量时，我们可以设向量 \\( \\mathbf{c} = (c_1, c_2, c_3) \\)，满足点积为零的条件。例如，求与 \\( \\mathbf{a} = (1, 0, 2) \\) 垂直的向量时，条件为：\\( c_1 + 2c_3 = 0 \\)。我们可以选择自由变量如取 \\( c_3 = 1 \\)，从而得到与 \\( \\mathbf{a} \\) 垂直的向量 \\( \\mathbf{c} = (-2, 0, 1) \\)。

当需要求同时垂直两向量的向量时，可以使用叉乘或解联立方程组的方法。例如，求与向量 \\( \\mathbf{a} = (1, 1, 0) \\) 和向量 \\( \\mathbf{b} = (2, -1, 3) \\) 同时垂直的向量时，可以通过叉乘计算得到结果。最终得到的单位化向量为：\\( \left( \frac{1}{\sqrt{3}}, -\frac{1}{\sqrt{3}}, -\frac{1}{\sqrt{3}} \right) \\)。假设存在实数x使得向量\\( \mathbf{a} = (1, -2, 3) \\)和向量\\( \mathbf{b} = (4, x, 5) \\)垂直。我们可以建立方程来求解x的值：通过计算点积并令其等于零，我们得到方程\\( 1 \times 4 + (-2) \times x + 3 \times 5 = 0\\)。解这个方程得到\\( x = \frac{19}{2} \\)。答案是\\( x = \boxed{\frac{19}{2}} \\)。以上内容充分展示了向量的垂直性质及其在实际问题中的应用。